Es sólo un enganche para provocar el interés de algunos estudiantes por un problema que suele traerles de cabeza; y hablo de estudiantes de la licenciatura en matemáticas.
El tema que se plantea es la definición de conjunto ordenado. Es una definición bastante "abstracta":
Un conjunto de cualquier clase de elementos X está bien ordenado si se ha definido una "relación" de orden entre sus elementos, de modo que cumple las siguientes condiciones:
- Todo elemento está x relacionado consigo mismo.
- Si un elemento x está relacionado con otro y, y este elemento y está relacionado con x, entonces necesariamente x e y son iguales.
- Si un elemento x está relacionado con otro y, y este elemento y está relacionado con z, entonces x está relacionado con z.
Parece duro ¿no? paro cualquiera puede entenderlo si cambia lo de "está relacionado" por otra expresión más común, como "es mayor o igual".
Con un poco de esfuerzo, no mucho, ahora todos reconocemos una relación de orden de una forma más o menos natural.
Pero no hemos hecho nada más que empezar.
Hay lo que llamamos relaciones de orden total, cuando entre dos elementos de nuestro conjunto siempre hay uno "menor o igual" que el otro, como ocurre por ejemplo con los números naturales (los que usamos para contar).
Hay relaciones de orden parcial, en conjuntos donde hay elementos que no son ni más grande ni más pequeño uno que otro. Esto ocurre en los órdenes definidos entre conjuntos: por ejemplo, si decimos que un conjunto es más grande que otro cuando lo contiene. Así, Santander es más pequeño que Cantabria, y Cantabria es más pequeño que España (sin connotaciones políticas, por favor), pero Cantabria y Andalucía no está ordenados entre sí.
Parece que nos vamos entendiendo, y entonces aparece la pregunta del millón:
¿Un conjunto ordenado tiene un principio? ¿Y un fin?
La respuesta es obvia: puede que si y puede que no. Pero la experiencia es que cuando llego a esta pregunta los estudiantes están ya totalmente fuera de combate.
¿Podríais poner algunos ejemplos?
